Der Vier-Farben-Satz

Abwandlungen und Verallgemeinerungen

Das Vier-Farben-Problem ist ein Spezialfall der Heawood-Vermutung. Das klassische Vier-Farben-Problem betrifft Landkarten, die auf einer Ebene oder Kugeloberfläche liegen. Die Heawood-Vermutung stellt die analoge Frage für allgemeine Oberflächen, etwa die Kleinsche Flasche (6 Farben), das Möbiusband (6 Farben), die Projektive Ebene (6 Farben) und den Torus (7 Farben). Interessanterweise ist die Verallgemeinerung – abgesehen vom Spezialfall für Ebenen oder Kugeloberflächen – wesentlich leichter zu beweisen als der Vier-Farben-Satz und kommt ohne Computerhilfe aus. J. W. Ted Youngs und Gerhard Ringel konnten im Jahr 1968 erstmals die Heawood-Vermutung für alle anderen Fälle beweisen (Satz von Ringel-Youngs). Der Vier-Farben-Satz wird also nicht durch diesen Beweis verifiziert, sondern muss gesondert behandelt werden.

Erweitert man die Aufgabenstellung des Vier-Farben-Satzes von Oberflächen auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, dann gibt es keine Obergrenze für die Anzahl der Farben. Anstelle der „Länder“ treten dreidimensionale Gebiete („Körper“) auf, die unterschiedliche Farben haben sollen, wenn sie eine gemeinsame Grenzfläche besitzen. Für jede Zahl n lässt sich ein Beispiel konstruieren, das mindestens n Farben benötigt. Man denke sich n „lange“ kongruente Quader („Riegel“) nebeneinanderliegend, die zusammen einen Quader quadratischer Grundfläche bilden. Darauf liegen noch einmal n zu den ersten kongruente Quader nebeneinander, aber senkrecht zu den unteren, so dass alle unteren Quader alle oberen Quader berühren. Nun sei jeder der unteren mit genau einem der oberen verbunden, so dass beide gemeinsam kreuzweise einen Körper bilden. Jeder dieser Körper berührt jeden anderen; man braucht also n Farben und n war beliebig.^[1]

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